KULIAH 9

 

SETS

 

Bermula pada abad ke 19, sekarang telah menjadi cabang matematik yang sangat penting, terutama dalam matematik moden. Pelopornya ialah Georg Cantor (1845 – 1918) seorang ahli matematik berbangsa German. Idea set yang dipelopori oleh Cantor telah diteruskan oleh David Hilbert (1862 – 1943) juga seorang ahli matematik berbangsa German.

 

Pendahuluan:

 

Set adalah satu pengumpulan bagi objek-objek yang tertentu.

 

Contoh 1

 

Pertimbangkan 5 set bagi objek-objek tertentu berikut:

 

·     {Pyramid of Cheops, Tembok Besar Cina, Empire State Building}

·     {1, 2, 3, 4}

·     {a, e, i, o, u}

·     {spaghetti, rice, bread, potato}

·     {1, 2, e, Tembok Besar Cina}

 

Objek-objek yang membentuk set adalah dipanggil unsur-unsur atau ahli kepada set tersebut. Unsur ini adalah dituliskan dengan menggunakan dua braces  {    }. Braces ini disebut sebagai set dimana unsur-unsurnya ialah...

 

Juga digunakan huruf besar untuk menentukan setiap set berkenaan. Sebagai contoh pertama di atas, kita boleh namakan set ‘A’, dan ditulis sebagai

 

              A  =  {1, 2, 3, 3 } dan dibaca sebagai

 

A adalah suatu set yang unsur-unsurnya adalah  1, 2, 3, dan 4.

Order untuk kita menyatakan sesuatu set adalah tidak penting. Sebagai contoh set

              A = {1, 3, 5, 7}  dan  B = {3, 1, 5, 7} adalah set yang sama.

 

Kita juga tidak akan membenarkan satu set yang mempunyai unsur yang berulang. Sebagai contoh, jika dalam satu kelas terdapat 10 murid berumur 6 tahun dan 15 murid berumur 7 tahun, maka setnya , katakan c iaitu bilangan murid dalam sebuah kelas mempunyai 25 unsur. Kita juga boleh menyatakan set bagi umur muris iaitu, A = {6, 7}.

 

Jika bilangan unsur set itu adalah kecil maka kita boleh menulisnya seperti contoh di atas. Jika besar dan bilangannya tidak terhingga, kita akan menulis dengan menggunakan simbul yang tertentu. Sebagai contoh, set bagi semua nombor perdana boleh ditulis sebagai

 

              {x : x adalah nombor perdana}

 

Ini boleh dibaca sebagai set bagi semua unsur adalah x iaitu x adalah nombor perdana.

 

Contoh 2

 

Set X dimana unsurnya adalah integer genap boleh ditulis sebagai

 

       {. . . , -4, -2, 0, 2, 4, . . . }   atau boleh ditulis sebagai berikut

 

       X  = {x: x adalah integer positif}

 

 

Jika kita takrifkan dua set  A dan B sebagai

 

       A = {2, 4, 6, 8}  dan

 

       B = {x : x adalah nombor perdana}

 

Maka, 4 adalah suatu unsur bagi A. Kita boleh tulis ini sebagai  4 Î A , menggunakan simbol Î untuk menyatakan ‘ adalah unsur kepada’  . Juga 4 adalah bukan unsur kepada B. Kita tulis sebagai  4 Ï B dimana  Ï dibaca sebagai ‘adalah bukan unsur kepada’.

 

Bila kita mengklasifikasikan sesuatu objek, kita perlu pertimbangkan berapa terperincinya pengkelasan tersebut. Sebagai contoh, jika kita takrifkan suatu set A sebagai

 

       A = {x : x adalah seorang pelajar}

 

       B = {x : x adalah seorang pelajar matematik}

 

       Jika x Î B, maka secara automatik bahawa  x Î A. Ini kerana B adalah mengandungi unsur bagi A. Maka kita katakan bahawa B adalah subset bagi A. Sebagai contoh lain,  B = {1, 5} adalah subset kepada  A = {1, 3, 5}. Maka kita boleh tulis sebagai B Í A . Kita juga benarkan subset itu adalah sama dengan set asalnya. Jadi jika A adalah sebarang set, maka adalah benar A Í A. Secara amnya kita katakan bahawa:

 

       Set A adalah subset bagi set B jika setiap unsur A adalah  juga unsur bagi B.

 

Secara formalnya,

 

       A Í B  Û ( "x, x Î A  Þ x Î B )

 

Jika kita hendak bincangkan tentang suatu subset bagi B dimana tidak termasuk semua set maka kita akan bincangkan mengenai ‘proper subset’ bagi B.

 

Contoh 3

 

Dua contoh bagi subset:

 

       {1, 5} Í {1, 2, 3, 4, 5}

      

       {1, 5} Í {1, 5}

 

Kita hendak membezakan diantara satu unsur bagi suatu set , dan suatu set yang hanya mempunyai satu unsur sahaja.

 

Contoh 4

Katakan A = {1, 2} , maka  1 Î A  tetapi  { 1 } Í A .

 

Kita boleh katakan bahawa dua set X dan Y adalah sama jika mereka mempunyai bilangan unsur yang sama.

 

Contoh 5

 

Yang manakah set berikut adalah sama?

 

·     A = {-1, 1, 2}

·     B = {-1, 2, 1}

·     C = {0, 1, 2}

·     D = {2, 1, -1, -2}

·     E = {x : x² = 4 atau x² = 1}

 

Penyelesaian:

 

Set A dan B adalah sama, set D dan E adalah sama. Set C tidak sama dengan A atau B atau D atau E.

 

Contoh 6

 

Adakah set berikut sama?

 

·     X = {x : x² –5x + 6 = 0}

·     Y = {2, 3}

 

Penyelesaian:

 

x² –5x + 6 = 0 mempunyai dua penyelesaian, iaitu  x = 2 dan x = 3. Unsur bagi X adalah sama dengan unsur bagi Y, maka  X = Y.

 

Secra formalnya untuk menyatakan kesamaan bagi dua set ialah:

 

A = B Û ( x Î A   Þ    x  Î B) dan ( x Î B Þ x Î A). Set notation ini adalah sama dengan A Í B dan B Í A. Jika perlu dibuktikan maka kita perlu buktikan kedua-dua arah.