|
|
Pembuktian adalah bahagian yang terpenting
dalam bidang matematik. Terdapat bebagai-bagai bentuk pembuktian.
PEMBUKTIAN SECARA LANGSUNG
Pembuktian jenis ini adalah secara langsung
atau secara terus.
Buktikan jika x dan y adalah nombor nisbah maka x + y adalah nombor nisbah juga.
Untuk membuktikan ini, kita perlu ingat
bahawa nombor nisbah boleh dinyatakan sebagai pecahan dengan pengatas dan
penyebutnya adalah integer. Sebagai contoh, 3/7 adalah nombor nisbah
tetapi Ö
2 bukan nombor nisbah.
Penyelesaian:
Oleh kerana x dan y adalah nombor nisbah,
kita boleh cari integer p, q, m dan n iaitu x = p/q dan y = m/n. Maka
x + y =
p/q + m/n = ( pn + mq) / qn
Oleh kerana pn + mq dan qn semuanya adalah integer, maka kita simpulkan
bahawa
x +
y adalah nombor nisbah.
Contoh 2
Buktikan bahawa jika ïx
ï
> ïy
ï
maka x2 > y2 .
Penyelesaian:
Jika ïxï
> ïyï maka
ïxï2 >
ïyï2
. Sekarang ïxï2
= x2 dan
ïyï2
= y2 .
Maka x2 > y2.
PEMBUKTIAN SECARA KONTRAPOSITIF
Dalam pembuktian bagi mengimplikasikan
bukan q Þ
bukan p adalah sama dengan p Þ
q. Adalah lebih mudah kita membuktikan secara kontrapositif bukan q Þ
bukan p daripada secara terus membuktikan p Þ
q .
Contoh 3
Buktikan bahawa sebarang nombor perdana n
> 2 semestinya nombor ganjil.
Penyelesaian:
Secara formalnya pernyataan ini adalah untuk sebarang integer
n > 2, n nombor perdana Þ
n nombor ganjil.
Katakan p adalah suatu usulan, n nombor
perdana
Dan q pula usulan , n ganjil. Yang kita
hendak buktikan bahawa
p Þ
q , ini adalah sama dengan membuktikan bahawa (bukan q) Þ
(bukan p). Sekarang bukan q adalah usulan , n bukan nombor perdana.
Maka kotrapositifnya ialah
n nombor genap Þ
n bukan nombor perdana.
Dalam perkataan, kita katakan bahawa jika n
ialah sebarang nombor genap lebih besar dari 2, maka n bukan nombor perdana.
Jika n adalah nombor genap lebih besar dari
2, maka n = 2k untuk sesuatu nilai bagi k > 1. Maka n boleh dibahagi oleh 2
dan n ¹
2, jadi oleh itu n bukan nombor perdana.
Contoh 4
Tunjukkan bahawa bagi n, suatu nombor asli,
jika n2 > 25
maka n >5.
Penyelesaian:
Kontrapositif ialah
Jika
n £
5 maka n2 £
25
Jika n £
5 maka n = 1,2,3,4,5 dan n2 = 1,4,9,16,25. Jadi n2 £
25.
PEMBUKTIAN SECARA KOTRADIKSI (reductio ad absurdum)
Pembuktian cara ini biasa digunakan bila
kita hendak membuktikan sesuatu itu , tetapi kita tidak tahu bagaimana kita
hendak memulakannya. Kita mengandaikan secara bertentangan apa yang kita hendak
cuba buktikan dan mendapat keputusan yang janggal, iaitu suatu kontradiksi yang
logik.
Jika, andaian kita secara palsu, dan apa
yang kita sepatutnya buktikan mestilah benar.
Berikut adalah contoh yang popular tentang
pembuktian secara kontradiksi.
Contoh 5
Buktikan bahawa Ö
2 adalah bukan nombor nisbah.
Penyelesaian:
Andaikan bahawa Ö
2 adalah nombor nisbah. Maka, kita boleh mencari integer a dan b iaitu Ö
2 = a/b dan kita andaikan bahawa
sebarang faktor yang sama bagi a dan b boleh dibatalkan. Kita boleh
mengkuasaduakan kedua-dua belah bagi persamaan itu dan kita dapat
2
= a2/b2 , maka 2b2
= a2
Jadi a2 adalah hasil darab bagi
2, maka ianya adalah nombor genap. Jadi a mestilah juga genap, jika kita kuasa
duakan sebarang nombor ganjil maka hasilnya adalah ganjil juga. Jadi, 2 boleh
dibahagi oleh a, maka a = 2x untuk
sebarang integer x.
Oleh itu,
2b2
= (2x)2
2b2
= 4x2
b2
= 2x2
Jadi, b2 adalah genap. Oleh itu,
b adalah genap. Tetapi sekarang a dan b mempunyai faktor sepunya 2, dimana ini
adalah kontradik kepada pernyataan bahawa a dan b tidak mempunyai faktor
sepunya yang sama. Jadi andaian awal kita bahawa Ö
2 adalah nombor nisbah adalah palsu. Oleh itu, Ö
2 adalah bukan nombor nisbah.
Contoh 6
Buktikan bahawa jika x2 – 4 = 0 maka x ¹
0 .
Penyelesaian:
Jika x = 0, maka 02 – 4 = - 4 ¹
0, dimana ini adalah kontradik
dengan
x2 – 4 = 0 . Oleh kerana itu andaian kita bahawa x = 0 adalah
palsu dan kita telah buktikan bahawa x ¹
0 .